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NOTE XIII.

ou

$c^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}=8(2z+1){\sqrt {z^{2}+z}}.$

Enfin, en substituant dans $\mathrm {Z}$ les valeurs trouvées, et en divisant par 8 haut et bas, on trouve la relation donnée par Gauss.

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Note XII (art. 102).

L’équation en $\mathrm {Y} ,$ art. 101, est

$\mathrm {Y^{3}+Y^{2}-HY} +{\frac {1}{9}}\mathrm {H} =0.$

On voit d’abord que puisque $\mathrm {H}$ est positif, le produit des trois racines est négatif ; donc dans le cas où les racines sont réelles, l’équation doit en avoir deux positives et une négative.

En cherchant la valeur de $\mathrm {H}$ qui rend les deux racines positives égales entre elles, on trouve

$\mathrm {H} ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{6}}$

et l’on obtient bien alors, en égalant à zéro le plus grand commun diviseur de l’équation proposée et de sa dérivée, pour valeur de ces racines égales,

${\frac {1}{6}}{\sqrt {5}}-{\frac {1}{6}}.$

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Note XIII (art. 113).

Pour démontrer le théorème énoncé par Gauss dans cet article, considérons une sphère. Soient $\mathrm {A,\,A',\,A''}$ (fig. (5) des notes) trois lieux portés sur cette sphère dont nous supposons le rayon égal à 1 ; ces lieux étant placés d’après leurs coordonnées héliocentriques ou géocentriques. Appelons $\alpha ,\,\alpha ',\,\alpha '',$ $\beta ,\,\beta ',\,\beta ''$ les longitudes et les latitudes de ces trois points,