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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.

nous avons donc $n$ équations linéaires par rapport aux $n$ quantités

{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}},\quad {\frac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}\cdot

Alors de deux choses l’une : ou bien le déterminant de ces équations (2), c’est-à-dire le déterminant fonctionnel des $\psi$ par rapport aux $\beta ,$ sera nul, et alors, d’après ce que nous avons vu au n^o 62, l’un des exposants caractéristiques sera nul.

Ou bien on aura à la fois

(3)

{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}=\ldots ={\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}=0.

Ces équations devront être satisfaites pour

x_{1}=\varphi _{1}(2\pi ),\quad x_{2}=\varphi _{2}(2\pi ),\quad ,\ldots ,\quad x_{n}=\varphi _{n}(2\pi )

ou, ce qui revient au même, pour

x_{1}=\varphi _{1}(0),\quad x_{2}=\varphi _{2}(0),\quad ,\ldots ,\quad x_{n}=\varphi _{n}(0).

Mais l’origine du temps est restée entièrement arbitraire ; nous devons donc conclure que les équations (3) seront satisfaites, quel que soit $t,$ pour

x_{1}=\varphi _{1}(t),\quad x_{2}=\varphi _{2}(t),\quad ,\ldots ,\quad x_{n}=\varphi _{n}(t).

On peut d’ailleurs s’en rendre compte de la manière suivante :

Supposons que les équations (3) soient satisfaites pour un système de valeurs de $x_{1},$ $x_{2},$ $\ldots ,$ $x_{n},$ je dis qu’elles le seront encore pour un système infiniment voisin $x_{1}+dx_{1},$ $x_{2}+dx_{2},$ $\ldots ,$ $x_{n}+dx_{n},$ pourvu que l’on ait, conformément aux équations différentielles,