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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

Toutes les fois qu’il n’en sera pas ainsi, l’intégrale $\mathrm {J}$ sera négligeable et nous n’aurons pas d’autres phénomènes que ceux prévus par la théorie géométrique des ombres.

90. Cherchons donc dans quels cas ${\frac {d\varphi }{dr}}$ est infini. Nous avons trouvé au n^o 86

$r\,dr=a\left(a+b\right)\sin \theta \,d\theta \,;$

nous en déduisons

(10)

${\frac {d\varphi }{dr}}={\frac {1}{a\left(a+b\right)}}{\frac {r}{\sin \theta }}{\frac {d\varphi }{d\theta }}\cdot$

Cette égalité nous montre que ${\frac {d\varphi }{dr}}$ pourra devenir infini dans deux cas : 1^o si $\sin \theta$ est très petit : 2^o si ${\frac {d\varphi }{d\theta }}$ est infini.

Considérons le premier cas. L’angle $\theta$ étant très petit, un
Fig. 10. arc du contour de l’écran est très voisin du point $\mathrm {Q}$ et l’on peut confondre la portion de la sphère qui contient cet arc avec un plan passant par $\mathrm {Q} .$ En outre cet arc étant infiniment petit, on peut le considérer comme un élément d’une droite $\mathrm {AB}$ (fig. 10). La distance $\mathrm {MQ}$ du point $\mathrm {Q}$ à l’élément d’arc $\mathrm {M}$ est $a\theta ,$ $a$ étant le rayon de la sphère sur laquelle se trouve la portion considérée du contour de l’écran. En appelant $a\delta$ la plus courte distance $\mathrm {QC}$ du point $\mathrm {Q}$ à la droite $\mathrm {AB} ,$ et $\varphi$ l’angle de $\mathrm {QM}$ et $\mathrm {QC} ,$ nous avons

$a\theta \cos \varphi =a\delta$

ou

$\theta \cos \varphi =\delta .$