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DOUBLE RÉFRACTION

Si nous supposons que $\mathrm {V} '$ soit la vitesse la plus voisine de ${\sqrt {a}},$ le rapport $\mathrm {R}$ des carrés des axes de l’ellipse qui correspond à cette vitesse sera plus grand que $1$ et représentera le carré du rapport du grand axe au petit axe ; la valeur de $\mathrm {R}$ est alors

${\frac {\mathrm {V} '^{2}-c}{\mathrm {V} '^{2}-a}}\cdot$

Pour l’autre vitesse $\mathrm {V} '',$ $\mathrm {R}$ est au contraire plus petit que l’unité, et le carré du rapport du grand axe au plus petit axe de l’ellipse correspondant à cette vitesse est

${\frac {\mathrm {V} ''^{2}-a}{\mathrm {V} ''^{2}-c}}\cdot$

Si les deux ellipses sont égales, nous devons avoir

${\frac {\mathrm {V} '^{2}-c}{\mathrm {V} '^{2}-a}}={\frac {\mathrm {V} ''^{2}-a}{\mathrm {V} ''^{2}-c}},$

ou

$\mathrm {V} '^{2}+\mathrm {V} ''^{2}=a+c.$

Or, si nous développons l’équation (3) qui donne les vitesses, nous obtenons

$\mathrm {V} ^{4}-(a+c)\mathrm {V} ^{2}+ac-\beta '^{2}=0,$

et nous avons bien pour la somme des racines $\mathrm {V} '^{2}$ et $\mathrm {V} ''^{2}$ de cette équation

$\mathrm {V} '^{2}+\mathrm {V} ''^{2}=a+c.$

Ces deux ellipses égales ont leurs grands axes perpendiculaires l’un à l’autre, puisque le rapport $\mathrm {R}$ du carré de l’axe dirigé suivant $\mathrm {O} x$ au carré de l’axe dirigé suivant $\mathrm {O} y,$ passe