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ce qui donne

${\begin{aligned}\int ydx=\mathrm {Y} =&-{\frac {c}{2}}\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{2}+{\frac {c}{3}}\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{3}-\ldots \\=&-{\frac {1}{2}}c\varphi '^{2}\left(x-t{\sqrt {c}}\right)-{\frac {1}{2}}c\psi '^{2}\left(x-t{\sqrt {c}}\right)\\&-c\varphi '\left(x-t{\sqrt {c}}\right)\psi '\left(x-t{\sqrt {c}}\right),\end{aligned}}$

en négligeant les termes suivants qui doivent être regardés comme infiniment petits d’un ordre plus élevé ; on aura donc

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&-{\frac {1}{2}}c\varphi '^{2}\left(p+2t{\sqrt {c}}\right)-c\varphi '\left(p+2t{\sqrt {c}}\right)\psi '(p)-{\frac {1}{2}}c\psi '^{2}(p),\\\mathrm {Q} =&-{\frac {1}{2}}c\varphi '^{2}(q)-c\varphi '(q)\psi '\left(q-2t{\sqrt {c}}\right)-{\frac {1}{2}}c\psi '^{2}\left(q-2t{\sqrt {c}}\right),\end{aligned}}$

et par conséquent

${\begin{aligned}\int \mathrm {P} dt=&-{\frac {1}{2}}c\int \varphi '^{2}\left(p+2t{\sqrt {c}}\right)dt-{\frac {\sqrt {c}}{2}}\varphi \left(p+2t{\sqrt {c}}\right)\psi '(p)-{\frac {1}{2}}ct\psi '^{2}(p),\\\int \mathrm {Q} dt=&-{\frac {1}{2}}ct\varphi '^{2}(q)+{\frac {\sqrt {c}}{2}}\varphi '(q)\psi \left(q-2t{\sqrt {c}}\right)-{\frac {1}{2}}c\int \psi '^{2}\left(q-2t{\sqrt {c}}\right)dt.\end{aligned}}$

Que $(\varphi )$ dénote la valeur de l’intégrale $\int \varphi '^{2}\left(p+2t{\sqrt {c}}\right)dt{\sqrt {c}},$ et $(\psi )$ celle de l’intégrale $\int \psi '^{2}\left(q-2t{\sqrt {c}}\right)dt{\sqrt {c}},$ on trouvera, après avoir restitué au lieu de $p$ et de $q$ leurs valeurs,

${\begin{aligned}{\frac {\int \mathrm {Q} dt-\int \mathrm {P} dt}{2{\sqrt {c}}}}=&{\frac {1}{4}}t{\sqrt {c}}\left[\psi '^{2}\left(x-t{\sqrt {c}}\right)-\varphi '^{2}\left(x+t{\sqrt {c}}\right)\right]\\&+{\frac {1}{4}}\psi \left(x-t{\sqrt {c}}\right)\varphi '\left(x+t{\sqrt {c}}\right)\\&+{\frac {1}{4}}\psi '\left(x-t{\sqrt {c}}\right)\varphi \left(x+t{\sqrt {c}}\right)-{\frac {1}{4}}(\psi )+{\frac {1}{4}}(\varphi ),\end{aligned}}$

quantité qui devra être ajoutée à la première valeur de $z$.

Pour voir maintenant combien cette correction peut influer sur la vitesse de la propagation des ébranlements, on observera que les fonctions $\varphi (x)$ et $\psi (x)$ doivent être telles, qu’elles soient toujours égales à