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que dans le cas où ${\rm {Q,Q',\ldots }}$ sont nuls, avec la seule différence que les arbitraires $c,c',c'',\ldots$ doivent être changées dans

$c-\alpha \int dt\mathrm {(FQ+F'Q'} +\ldots ),\qquad c'-\alpha \int dt\mathrm {(HQ+H'Q'} +\ldots ),\ldots$

Or, si, dans la supposition de ${\rm {Q,Q',\ldots }}$ égaux à zéro, on élimine des $in$ intégrales de l’ordre $i-1$ les différences des variables $y,y',\ldots ,$ on aura les $n$ intégrales finies des équations proposées ; on aura donc ces mêmes intégrales, lorsque ${\rm {Q,Q',\ldots }}$ ne sont pas nuls, en changeant dans les premières intégrales $c,c',\ldots$ dans $c-\alpha \int dt{\rm {(FQ+\ldots ),}}$$\ c'-\alpha \int dt{\rm {(HQ+\ldots ),\ldots }}$

41. Si les différentielles

$dt{\rm {(FQ+F'Q'}}+\ldots ),\qquad dt{\rm {(HQ+H'Q'}}+\ldots )$

sont exactes, on aura par la méthode précédente les intégrales finies des équations différentielles proposées ; mais cela n’a lieu que dans quelques cas particuliers, dont le plus étendu et le plus intéressant est celui dans lequel ces équations sont linéaires. Supposons ainsi ${\rm {P,P',\ldots }}$ fonctions linéaires de $y,y',\ldots$ et de leurs différences jusqu’à l’ordre $i-1,$ sans aucun terme indépendant de ces variables, et considérons d’abord le cas dans lequel ${\rm {Q,Q',\ldots }}$ sont nuls. Les équations différentielles étant linéaires, leurs intégrales successives seront pareillement linéaires, en sorte que, $c-=\mathrm {V} ,c'-\mathrm {V} ',\ldots$ étant les $in$ intégrales de $i-1$ des équations différentielles linéaires

$0={\frac {d^{i}y}{dt^{i}}}+\mathrm {P} ,\qquad 0={\frac {d^{i}y'}{dt^{i}}}+\mathrm {P} ',\ldots$

${\rm {V,V',\ldots }}$ peuvent être supposés des fonctions linéaires de $y,y',\ldots$ et de leurs différences jusqu’à l’ordre $i-1$. Pour le faire voir, supposons, dans les expressions de $y,y',\ldots$, la constante arbitraire $c$ égale à une quantité déterminée, plus à l’indéterminée $\delta c$ ; la constante arbitraire $c'$ égale à une quantité déterminée, plus à l’indéterminée $\delta c',$ etc.; en réduisant ces expressions en séries ordonnées par rapport aux puis-