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49. La difficulté du développement de ${\rm {R}}$ en série se réduit à former les quantités $\mathrm {A} ^{(i)},\mathrm {B} ^{(i)},$ et leurs différences prises soit relativement à $a,$ soit relativement à $a'.$ Pour cela, considérons généralement la fonction

$\left(a^{2}-2aa'\cos \theta +a'^{2}\right)^{-s},$

et développons-la suivant les cosinus de l’angle $\theta$ et de ses multiples. Si l’on fait ${\frac {a}{a'}}=\alpha ,$ elle deviendra

$a'^{-2s}\left(1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}\right)^{-s}.$

Soit

$\left(1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}\right)^{-s}={\frac {1}{2}}b_{s}^{(0)}+b_{s}^{(1)}\cos \theta +b_{s}^{(2)}\cos 2\theta +b_{s}^{(3)}\cos 3\theta +\ldots ,$

$b_{s}^{(0)},b_{s}^{(1)},b_{s}^{(2)},\ldots$ étant des fonctions de $\alpha$ et de $s.$ Si l’on prend les différences logarithmiques des deux membres de cette équation par rapport à la variable $\theta$, on aura

${\frac {-2s\alpha \sin \theta }{1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}}}={\frac {-b_{s}^{(1)}\sin \theta -b_{s}^{(2)}\sin 2\theta -\ldots }{{\frac {1}{2}}b_{s}^{(0)}+b_{s}^{(1)}\cos \theta +b_{s}^{(2)}\cos 2\theta +\ldots }}$

En multipliant en croix et comparant les cosinus semblables, on trouve généralement

(a)

$b_{s}^{(i)}={\frac {(i-1)(1+\alpha ^{2})b_{s}^{(i-1)}-(i+s-2)\alpha b_{s}^{(i-2)}}{(i-s)\alpha }}\,;$

on aura ainsi $b_{s}^{(2)},b_{s}^{(3)},\ldots$ lorsque l’on connaîtra $b_{s}^{(0)},b_{s}^{(1)}.$

Si l’on change $s$ en $s+1$, dans l’expression précédente de $\left(1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}\right)^{-s},$ on aura

$\left(1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}\right)^{-s-1}=$

${\frac {1}{2}}b_{s+1}^{(0)}+b_{s+1}^{(1)}\cos \theta +b_{s+1}^{(2)}\cos 2\theta +b_{s+1}^{(3)}\cos 3\theta +\ldots$

En multipliant les deux membres de cette équation par $1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}$ et en substituant, au lieu de $\left(1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}\right)^{-s},$ sa valeur en série, on aura

${\frac {1}{2}}b_{s}^{(0)}+b_{s}^{(1)}\cos \theta +b_{s}^{(2)}\cos 2\theta +\ldots =\left(1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}\right)\times$

$\left({\frac {1}{2}}b_{s+1}^{(0)}+b_{s+1}^{(1)}\cos \theta +b_{s+1}^{(2)}\cos 2\theta +b_{s+1}^{(3)}\cos 3\theta +\ldots \right),$