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ce qui donne, pour cette partie de $\delta v'$,

${\frac {3mn^{2}{\sqrt {a}}}{2(n-2n'+g)^{2}{\sqrt {a'}}}}\left({\rm {F}}h+{\frac {a}{a'}}{\rm {G}}h'\right)\sin(nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon '+gt+\Gamma ).$

On peut réunir ce terme au précédent, en observant que

$nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon '=n't-2n''t+\varepsilon '-2\varepsilon ''+200^{\circ },$

et que, $n$ étant à fort peu près égal à $2n',$ et $\left({\frac {a}{a'}}\right)^{3}$ étant égal à $\left({\frac {n'}{n}}\right)^{2},$ on a, à très-peu près,

${\frac {n^{2}{\sqrt {a}}}{\sqrt {a'}}}=2n'^{2}{\frac {a'}{a}}.$

La réunion de ces termes donne ainsi

$\delta v'={\frac {3n'2}{(n-2n'+g)^{2}}}\left\{{\begin{aligned}&m\left({\rm {G}}h'+{\frac {a'}{a}}{\rm {F}}h\right)\\+&{\frac {m''}{2}}\left({\rm {F}}'h'+{\frac {a'}{a}}{\rm {G}}'h''\right)\end{aligned}}\right\}$

$\times \sin(nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon '+gt+\Gamma ).$

Enfin l’action de $m'$ sur $m''$ produit dans le mouvement de $m''$ une inégalité ana\logue à celle que l’action de $m$ sur $m'$ produit dans le mouvement de $m',$ et qui par conséquent est égale à

$-{\frac {3m'n''^{2}}{n'-2n''+g)^{2}}}\left({\rm {G}}'h''+{\frac {a''}{a'}}{\rm {F}}'h'\right)\sin(nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon '+gt+\Gamma ).$

Les inégalités précédentes sont relatives à la racine $g.$ Il est visible que chacune des trois autres racines $g_{1},g_{2}$ et $g_{3}$ donnera, dans les mouvements des trois premiers satellites, des inégalités semblables. Ce sont les seules sensibles parmi celles qui dépendent à la fois de l’action des satellites et des excentricités des orbites.

8. L’action du Soleil peut aussi produire dans les mouvements des satellites des inégalités sensibles, quoique dépendantes des excentricités des orbites. La valeur de ${\rm {R}}$ relative à cette action contient, par le n^o 1, le terme $-{\frac {3{\rm {S}}r^{2}}{4{\rm {D^{3}}}}}\cos(2v-2{\rm {U).}}$ En y substituant, pour $r^{2},$