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D’après la règle, les quatre premiers chiffres de ce nombre sontexacts. En effet, l’erreur absolue que l’on commet en prenant 36 ;51 est moindre que 0,01 ; partant, l’erreur relative est moindre
que.— j et elle l’est en effet, puisqu’elle est H 3651* >r i
inférieure à qui est plus petit que.
10000 H r r i 3651
— Nous allons maintenant appliquer ces considérations générales aux diverses opérations de l’arithmétique.
VI. — Addition. On démontre que l’erreur relative d’une somme est moindre que la plus grande des erreurs relatives des termes qui la composent. Mais ce théorème sert peu dans là pratique, parce que la limite qu’il assigne à l’erreur relative de la somme est quelquefois trop élevée, et n’en donne pas une idée suffisamment nette. Il est plus simple ici de considérer les erreurs absolues. Ùerreur absolue d’une somme ne dépasse jamais la somme des erreurs absolues des nombres qu’on ajoute. On peut donc, en se basant sur ce principe, qui est assez clair pour se passer de démonstration, prendre pour limite de l’erreur absolue d’une somme la somme des limites des erreurs des nombres à ajouter. Exemple I. Soit à faire la somme des trois logarithmes suivants :
Log. 3 = 0,4771213
Log. 11 = 1,0413927
Log. 13 = 1,1139434
Log. 429 = 2,6324574 On sait que les logarithmes sont inscrits dans la table avec une erreur moindre qu’une demiunité du dernier ordre conservé. La somme des erreurs commises est donc ici moindre que 3 demi-dix-millionièmes, et, à fortiori, moindre que 3 dix-millionièmes. Telleest aussi la limite de l’erreur de la somme ; on ne peut donc pas répondre de l’exactitude de la 7^ décimale, et l’on écrira : Log. 429 = 2,632457 à un millionième près. Si, parmi les nombres à ajouter, il s’en trouvait un qui ne fût connu, par exemple, qu’à un millième près, il serait inu-" Ule de rechercher les dix-millièmes de la
Exemple II. Soit à calculer la somme v’â+v^+v’lëv à 0,01 près : avec quelle approximation chaque racine doit-elle êtrécalculée ? Soit a la limite de l’erreur à commettre sur chacune de ces trois racines. On doit avoir tout au plus
Il suffit donc que l’erreur de chaque nombre soit égale à l’erreur du total divisée par le nombre des termes à ajouter. On calculera donc chaque racine à 0,001 près (l’erreur sera
alors à plus forte raison moindre que - j.
^3= 1,732... ^45= 6,708... V 167 = 12,922... Total = 21,3C2... Le résultat voulu est 21,36. VII. — Soustraction. Le principe suivant permet de résoudre toutes les questions dans lesquelles on a à chercher une différence approchée : L’erreur absolue de la différence de deux nombres ne surpasse jamais la somme de leurs deux erreurs absolues. Exemple I. Trouver la différence de deux nombres dont les valeurs, approchées à une unité près de leur dernier chiffre, sont 3*14159 et 0,167. L’erreur du résultat sera moindre que
0,00001+0,001 = 0,00101, et, par conséquent, moindre que 0,002. C’est donc tout au plus si l’on pourra compter sur le chiffre des millièmes. On aura donc
3,14159—0,187 = 2,974... à 2 millièmes près, et sûrement 2,97 à 1 centième. — Exemple II. Calculer à 0,01 près la différence s— f~2. Quelle doit être l’erreur absolue de chaque terme ? Il suffit évidemment qu’elle soit inférieure à la moitié de l’erreur de
la différence, c’est-à-dire inférieure à-i—.
On prendr’a donc, pour plus de précaution, chaque terme avec une erreur de 0,001, c’est-à-dire avec 3 décimales, mais on n’en conservera que S à la différence.
v^i=i, -.i4. :.
K-V^ï= 1,727...
11,73 à 1/2 centième près.
VIII. — Multiplication. L’erreur relative i produit approché par défaut est moindre la somme des erreurs relatives des facteurs ^produit. Soient A, B deux facteurs exacts ; j.| - •......
les erreurs relatives des facteurs. Il s’agit de prouver que
AB—A’B’ A—A’ ~ ■*"
que de ci A’, B’les facteurs approchés, de telle sorte que
A=A’-r-a, B = B’-r-B. AB sera le produit exact ; A’B’ le produit approché par défaut ; AB—A’B’ l’erreur absolue du produit ;
AB-A’B’
AB
—+-
A = A’+«j B = B’+pj d’où, en multipliant,
AB = A’ B’-H B’+P A’+a p.
ou AB—A’B’ = aB’-|-BA’-f-d8.
Remplaçant a et p par leurs valeurs, il vient
AB-A’B’ = (A—A’) B’-f-(B-B’) A’+
(A-A’)(B-B’).
Mettant A—A’ en facteur commun...
AB-A’B’= (A—A’) B+(B—B’)A’. Si nous remplaçons le facteur A’ par A dans (B—B’)A, le second membre de la dernière égalité deviendra plus grand que le premier, car’A>A’, et il viendra :
AB—A’B’<(A—A’) B+(B—B’) A Divisons par AB,
AB-A’B’ A-A’ B-B’ —ÂB-<—+—’ 8"Hd-Si l’on change tous les signes de cette inégalité, elle devient
A’B’—AB A’—A B’—B
relative d’un produit, dont un fadeur est exact, est égale à celle du facteur approché. Dans la pratique, il n’y a pas d’inconvénient à considérer l’erreur relative d’un produit comme égale à la somme des erreurs relatives des facteurs. Ces propositions sont vraies, quel que soit le nombre des facteurs employés. Exemple I. Déterminer les chiffres exacts du produit de 123,5407... par 201,67389... On voit d’abord aisément que le produit sera compris entre 10000 et 100000, et comprendra par conséquent cinq chiffres à la partie entière. Cela posé, la somme des erreurs relatives des facteurs est moindre que
0,0001 l<0,0002. Cette limite étant aussi celle de l’erreur du produit, ce produit ne comprendra pas plus de quatre chiffres exacts (V), ce qui veut dire qu’on ne pourra pas compter sur le chiffre des unités. On peut au reste préciser la limite plus nettement. En effet, le produit sera évidemment inférieur à 30000. Appelons-le p, et soit o l’erreur absolue de ce produit. On a
—<b,0002,
d’où œ<PX 0,0002,
et à plus forte raison,
a<30000X 0,0002 = 6. Le produit comporte donc une erreur de près de six unités ; c’est pourquoi on ne peut compter sur le 5<* chiffre. De là l’utilité de la multiplication abrégée (V. ce mot) pour limiter l’opération à la recherche des seuls chiffres exacts. — Exemple II. Calculer, à moins de 1 centimètre, le produit it/2, qui exprime la longueur de la circonférence circonscrite au carré d’un mètre de côté. Il suffit que l’erreur relative de chaque facteur soit moindre que celle du produit divisée par le nombre des facteurs. L’erreur absolue du produit devant être inférieure à 0,01, l’erreur relative sera moindre
On prendra- donc chaque facteur avec une erreur relative de
0,001 1
2 "zôôS" ou avec une erreur absolue de 0,0001, c’est-à-dire avec quatre décimales. Le produit effectué par la méthode abrégée donnera 4>u,44.
IX. — Division. L’erreur relative d’un quotient approché par défaut est moindre que la somme des erreurs relatives des deux termes. Soient d le dividence exact, die diviseur exact, o et p les erreurs commises, de telle sorte que le dividende approché par défaut soit d—a, et que.le diviseur approché par excès (ce qui doit rendre immanquablement le quotient approché par défaut) soit d+p. Le quotient exact est
D - a Drf-r-Dft—od+da D$+dâ ~d+î d(d+ ?) *=d(d+f)<
Cette quantité est la limite de l’en lue. En la divisant par le quotient Substituant a+* à la place de x dans l’équation proposée, elle devient :
(û+a)m-fA(a+a)m-t+B(a+a)m-S-r.—.+ K(a+a)+M=o (3) équation dans laquelle l’inconnue est *. Développant les puissances des binômes (V. Binôme de Newton), et ordonnant par rapport à«, il vient une équation qui, toutes réductions faites, preod la forme :
ocni+A’aUi-i+B’ctra-ï+ K’a+M*=0
ou M’+K’a-f- +B’ttmJ-r-A’a»-l+amj=o (4)
Mais a étant moindre que 0,1 les puissances «*, *>.. ;-»» sont des fractions de plus en plus , ,, . „ „„, ., .. iv •>., ,, ., i petites. Newton néglige les termes qui les con-Calculer à 0,001 près le quotient —. On voit ! (imment) én sorte qûîl reste
cj.f.d.
Inversement, les erreurs relatives du dividende yei du diviseur sont chacune moindres que la moitié de l’erreur relative du quotient. Appliquons ces deux principes. Exemple I. Soit à trouver le quotient de 1219,253... par 9St76... L’erreur relative du quotient sera 1 1 1000
aisément que le quotient sera moindre que l j l’erreur relative sera par conséquent moindre que 0,001. On prendra donc pour limite de
l’erreur relative de chaque nombre -î— ^ ce
Le dernier chiffre a été forcé d’une unité (1) pour donner au quotient une valeur exacte, a moins d’un demi-millième. (V. au mot division. le procédé de la division abrégée.)
X. — Les principes que nous venons d’établir s’appliquent avec la plus grande facilité à l’élévation aux puissances, et à la recherche des racines, ils peuvent se formuler ainsi : 1» L’erreur relative d’une puissance d’un nombre est moindre que le produit de l’erreur relative de ce nombre multipliée par l’exposant de la puissance ; 2" L’erreur relative de la racine d’un nombre est moindre que l’erreur relative de ce nombre divisée par tïndice de la racine. On trouvera au mot racine un procédé abrégé pour extraire, dans certains cas, la racine carrée. Au reste, l’emploi des logarithmes dans le calcul des puissances et dans la recherche des racines dispense presque toujours avantageusement de recourir aux méthodes d’approximation. Nous avons évité les discussions méticuleuses des formules, discussions très-itiles dans la pratique, et dont le seul effet
est de prévenir l’esprit des élèves contre l’usage des approximations. L’expériei calculs est le meilleur guide
absolues est préférable à celui des erreurs relatives, et révèle plus sûrement que tous les théorèmes le degré d’exactitude d’un résultat trouvêi Les personnes curieuses de ces sortes de discussions consulteront avec fruit là Théorie générale des approximations numériques, par M. Vieille, ouvrage complet, dont nous nous sommes inspiré en plus d’un endroit.
XI. — Formule générais de l’approximation. Si f (x) est une fonction telle que sa dérivée f (x) reste finie et continue pour toute valeur de x comprise entre a et a+h, on a
F («+A)-P(«)-*/(«+*% k étant compris entre 0 et 1, de façon que à+kh soit une valeur intermédiaire entre a et a+h. Supposons d’abord A positif : x croissant d’une manière continue depuis a jusqu’à a+A, la dérivée f (#) passera par une série de valeurs dont nous appellerons la plus petite m et la plus grande M. On aura d’abord
m-fl*)<0. Mais m-f{x) est la dérivée de la fonction
F(a+h)-F(x)-a+h-x)m (i).
fonction qui est décroissante, à cause de la nature négative de sa dérivée, et, puisqu’elle est annulée par x=a+h, la valeur x=a la rend positive, auquel cas elle devient
F (a+h)~F {a)~hm>o ou P(a+A)-F(a)>Aw.
D’autre part, on à M—f(x) >0, condition qui, cette fois, rend croissante la fonction (1). Comme cette fonction s’annule pour w=a+n, elle devient négative pour x=a, et l’on a
P(a+A) F(à)-Am<o ou F(tt+A)-F(a)<Am.
La différence F(a+A)—F (a) est donc comprise entre hm et A M, c’est-à-dire qu’elle est égale au produit de A par une grandeur intermédiaire entre m et M ; c.q.f.d. — Si A est négatif. Les deux inégalités précédentes changent de sens, mais la conclusion reste la même. Cette formule embrasse, dans sa généralité, toutes les opérations de calculs, et même les opérations transcendantes, telles que calculs de logarithmes, de lignes trigonoinétriques, etc.
XII. — APPROXIMATION DES RACINES DES
équations. L’impossibilité où l’on est encore d’obtenir les racines exactes des équations de degrés supérieurs, et même, dans beaucoup de cas, celles des équations du 3e et du 4» degré, a provoqué la recherche et amené la découverte d’un certain nombre de procédés d’approximation. Nous nous bornerons à exposer le plus connu, celui de Newton, dont presque wus les autres procèdent. Soit l’équation générale suivante :
jrm+Aa !in-i+Ba : ai-a-r-....+Ka ;+M = 0 (1) et soit a une valeur approchée d’une des racines de cette équation, valeur qu’il est toujours possible de trouver au moins à 0,1 près, et que nous supposerons différer de la vraie racine d’une quantité a moindre t par conséquent, que 0,01. On a donc (B=û+a (2)
M’+K’»=0, d’où *~-r -r/
M’- ■■ ’ ■
- «—F.
Pour abréger, désignons par p cette première valeur approchée de x, et par a’ la quantité, cette fois plus petite que 0,01, dont elle eh diffère, en sorte que
Mettant p4-*’ à la place de x dans l’équation générale (1), et résolvant comme ci-dessus par rapport à a’, on obtient pour cette il
, M"
K’ En coi
obtiendrait delà même manière une 3» và^ leur approchée de x, puis une 4«, etc.... ’et toujours avec une approximation croissante.’ Si l’ensemble des termes négligés dans ’l’équation (4) forme une valeur plus petite que que 0,01, if est évident que la Valeur obtenue pour a, savoir ’ ' :
M’ a=’i"K’, ..., .
est exacte à moins de 0,01. On poussera donc la division de — M’ par K’ jusqu’aux centiètièmes, et, en ajoutant le quotient trouvé à la première valeur a, on aura la valeur de x approchée à 0,01 à Pareillement a’ étant plus petit que 0,01. les puissances supérieures de a’ (a’2, et’3, ...u’in) seront moindres que 0 ;000t ; et, en admettant qu’il en soit de même de la par.tie négligée-, a.’ serait approché à 0,0001. C’est pourquoi l’on portera jusqu’à la 4" décimale l’évaluation du quotient de — M" par K", et ce quotient ajouté à la valeur trouvée p4.la rendra exacte à moins d’une unité décimale du 4e ordre. On a donc ainsi deux décimales exactes à la première correction, 4 après la deuxième, S après la troisième, etc..., mais toujours pourvu que la partie négligée à cha’p que.transformation soit moindre qu’une unité de l’ordre double dé celui de la’dernière décimale précédemment trouvée. Mais.si, ce, qui arrive fréquemment, l’ensemble des termes négligés ne forme pas, à chaque correction, une valeur inférieure aux limites que nous avons supposées, il faut vérifier patiemment, après chaque nouvelle valeur obtenue, si l’on n’a pas dépassé l’erreur présumée, ou recourir au procédé plus rapide de la construction géométrique des racines. C est à cette incertitude des approximations successives que Lagrango a remédié-par uh« méthode plus pénible mais très-sûre, qui consiste à exprimer chaque racine en fraction continué. Par une série de substitutions, telles que
x=a+-, a=A+-, S=c+-, etc.’.. il arrive à cette expression de la raciné [
qu’on pourra calculer aussi approchée qu’on voudra.....
APPROXIMATIVEMENT adv. ïa-ipro-ksimà-ti-ve-man — râd. approximatif). D’une manière approximative, par approximation ï Estimer une dépense approximativement. A ht bonjour, monsieur le comte, j’étais occupé à supputer approximativement la côùrbt delà petite Ourse. (E. Sue.) • ’
— Antonymes. Exactement, géomètriqùe-r ment, mathématiquement, avec précision, rigoureusement, scrupuleusement, strictemientJ
APPROXIMÉ, ÉB. (a-pro-ksi-mé) part, pass. du v. Approximer. Evalué’approximativement : Tout ceci posé} on conçoit qu’à un moment donné, la proportion des valeuts for-r mant la richesse d un pays puisse être déterminée ou du moins approximee empiriquement, (Proudh.). ’ i
APPROXIMER v. a. ou tr. (a-pro-KSi-mé — du lat. approximare ; formé de ad, >vers ; proximare, approcher). Néol. Evaluer apr. proximativement : U est impossible de donner, une mesure exactement commune entre un cercle et un < : arré, mais U est facile de i’APPROxutÈa. Il Peu usité.
appdi s. m. (a-pui — du1 lat. ad, à : et podium, tertre, base, piédestal, tiré lui* même du gr. pous, podos, pied ; porfïun».noTiS a donné notre vieux franc.ye», pui, puy, signi-
