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NOTES DU TRADUCTEUR.

Cette relation est appelée relation de Nicolic, son inventeur.

En introduisant cette expression dans la valeur de $q,$ nous avons

$q={\frac {1}{2}}\left(rr''\right)^{\frac {1}{2}}\!\left(\cos {\frac {1}{2}}(v''\!\!-\!v)+{\frac {1-\operatorname {tang} ^{2}(45^{\circ }\!\!-\!z)\operatorname {cotang} ^{2}\!{\dfrac {1}{4}}(v''\!\!-\!v)}{1+\operatorname {tang} ^{2}(45^{\circ }\!\!-\!z)\operatorname {cotang} ^{2}\!{\dfrac {1}{4}}(v''\!\!-\!v)}}\right)\!,$

en réduisant au même dénominateur dans la parenthèse et en substituant $2\cos ^{2}\!{\frac {1}{4}}(v''\!-v)-1$ à $\cos {\frac {1}{2}}(v''\!-v),$ il vient

$q={\frac {1}{2}}\left(rr''\right)^{\frac {1}{2}}\!\left({\frac {2\cos ^{2}\!{\dfrac {1}{4}}(v''\!\!-\!v)-2\operatorname {tang} ^{2}(45^{\circ }\!\!-\!z)\operatorname {cotang} ^{2}\!{\dfrac {1}{4}}(v''\!-v)\sin ^{2}(v''\!-v)}{1+\operatorname {tang} ^{2}(45^{\circ }\!\!-\!z)\operatorname {cotang} ^{2}\!{\dfrac {1}{4}}(v''\!\!-\!v)}}\right)$

ou

${\begin{aligned}q=\left(rr''\right)^{\frac {1}{2}}&\sin ^{2}\!{\frac {1}{4}}(v''\!\!-\!v)\cos ^{2}\!{\frac {1}{4}}(v''\!\!-\!v)\\.&\left[{\frac {1-\operatorname {tang} ^{2}(45^{\circ }\!\!-\!z)}{\sin ^{2}\!{\dfrac {1}{4}}(v''\!\!-\!v)+\operatorname {tang} ^{2}(45^{\circ }\!\!-\!z)\cos ^{2}\!{\dfrac {1}{4}}(v''\!\!-\!v)}}\right].\end{aligned}}$

Mais on a

$\operatorname {tang} ^{2}(45^{\circ }\!-z)={\frac {\left(r''^{\frac {1}{2}}-r^{\frac {1}{2}}\right)^{2}}{\left(r''^{\frac {1}{2}}+r^{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}$

Il vient donc en substituant cette valeur

${\begin{aligned}q=&\left(rr''\right)^{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\!{\frac {1}{4}}(v''\!\!-\!v)\cos ^{2}{\frac {1}{4}}(v''\!\!-\!v)\\.&\left[{\frac {\left(r''^{\frac {1}{2}}+r^{\frac {1}{2}}\right)^{2}-\left(r''^{\frac {1}{2}}-r^{\frac {1}{2}}\right)^{2}}{\left(r''^{\frac {1}{2}}+r^{\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}\!{\dfrac {1}{4}}(v''\!\!-\!v)+\left(r''^{\frac {1}{2}}-r^{\frac {1}{2}}\right)^{2}\cos ^{2}\!{\dfrac {1}{4}}(v''\!\!-\!v)}}\right]\end{aligned}}$

ou, en développant les carrés dans la parenthèse et réduisant,

${\begin{aligned}q&={\frac {rr''\sin ^{2}\!{\dfrac {1}{2}}(v''\!-v)}{r''+r-2\left(rr''\right)^{\frac {1}{2}}\left(\cos ^{2}\!{\dfrac {1}{4}}(v''\!-v)-\sin ^{2}\!{\dfrac {1}{4}}(v''\!-v)\right)}}\\&={\frac {rr''\sin ^{2}\!{\dfrac {1}{2}}(v''\!-v)}{r''+r-2\left(rr''\right)^{\frac {1}{2}}\cos {\dfrac {1}{2}}(v''\!-v)}}\end{aligned}}$

d’où l’on obtient