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CHAPITRE VI.

Si $\alpha =-1,$ on aura

${\begin{aligned}m_{1}&=an+b,&m_{2}&=cn+d,&{\frac {m_{2}-d}{c}}&=n.\end{aligned}}$

Il vient alors

$\Phi (z)={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}z^{n}.$

Si donc on développe $\Phi (z)$ sous la forme

$\Phi (z)={\textstyle \sum }\,a_{n}z^{n}+{\textstyle \sum }\,a_{-n}z^{-n},$

le coefficient $\mathrm {A} _{m_{1}m_{2}}$ ne sera autre chose que $a_{n}$ si $m_{1}=an+b,$ $m_{2}=cn+d.$

Nous sommes donc conduit à chercher l’expression approchée de $a_{n}$ pour $n$ très grand et par conséquent à étudier les singularités de la fonction $\Phi (z).$

95.La fonction $\Phi (z)$ est définie comme une intégrale prise par rapport à $t$ le long de la circonférence $|t|=1.$ On peut remplacer cette circonférence par un contour $\mathrm {C}$ quelconque, à une condition toutefois.

Regardons un instant $z$ comme une constante et $\mathrm {F} (z,t)$ comme une fonction de $t.$ Cette fonction admettra un certain nombre de points singuliers.

Il faut qu’entre la circonférence $|t|=1$ et le contour $\mathrm {C}$ il n’y ait aucun de ces points singuliers.

Faisons maintenant varier $z$ d’une manière continue ; ces points singuliers se déplaceront d’une manière continue. Si, en même temps, on déforme le contour $\mathrm {C}$ d’une façon continue, et de telle sorte qu’il ne passe jamais par aucun point singulier, la fonction $\Phi (z)$ restera holomorphe.

La fonction $\Phi (z)$ ne peut donc cesser d’être continue que s’il devient impossible de déformer le contour $\mathrm {C}$ de façon qu’il ne passe pas par un point singulier. Voici comment cela peut arriver ; imaginons que, pour une certaine valeur de $z,$ nous ayons deux points singuliers $\alpha$ et $\beta ,$ l’un extérieur, l’autre intérieur au contour $\mathrm {C.}$ Si, en faisant varier $z$ d’une manière continue, l’un d’eux, $\alpha$ par exemple, vient sur le contour $\mathrm {C} ,$ nous pourrons déformer $\mathrm {C} ,$ en le faisant fuir pour ainsi dire devant ce point singulier mobile, de