Page:Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 1, 1889.djvu/148

134

THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

et comme nous avons posé $\alpha ={\frac {2\pi }{\lambda }},$ nous obtenons en remplaçant $\alpha$ par cette valeur

(11)

$\xi _{0}=-{\frac {ia\xi _{1}e^{i\alpha b}}{2\left(a+b\right)}}\int e^{{\frac {i\pi }{2}}\left(u^{2}+v^{2}\right)}du\,dv.$

95. Intensité lumineuse en un point. — D’après ce que nous avons dit au n^o 76, la composante suivant l’axe des $x$ du déplacement d’un point $\mathrm {P}$ situé en dehors de la sphère $\mathrm {S} ,$ est

$\xi =\;\,$ partie réelle de $\;\xi _{0}e^{-i\alpha \mathrm {V} t},$

où $\xi _{0}$ est remplacée par l’expression (11) que nous venons de trouver. Nous aurions pour les deux autres composantes les quantités

$\eta =\;\,$ partie réelle de $\;\eta _{0}e^{-i\alpha \mathrm {V} t},$

$\zeta =\;\,$ partie réelle de $\;\zeta _{0}e^{-i\alpha \mathrm {V} t},$

$\eta _{0}$ et $\zeta _{0}$ se déduisant de $\xi _{0}$ en remplaçant dans l’expression (11) $\xi _{1}$ par $\eta _{1}$ ou $\zeta _{1}.$ L’intensité lumineuse au point $\mathrm {P}$ sera donc proportionnelle à

$\rho \left[\left({\frac {d\xi }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {d\eta }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {d\zeta }{dt}}\right)^{2}\right]\,;$

or, on a

${\frac {d\xi }{dt}}=\;\,$ partie réelle de $\;\left(-i\alpha \mathrm {V} \xi _{0}e^{-i\alpha \mathrm {V} t}+e^{-i\alpha \mathrm {V} t}{\frac {d\xi _{0}}{dt}}\right)$

et deux expressions analogues pour ${\frac {d\eta }{dt}}$ et ${\frac {d\zeta }{dt}}.$ Par conséquent l’intensité est proportionnelle à la somme des carrés des