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PROPAGATION RECTILIGNE DE LA LUMIÈRE

en écrivant la condition de transversalité

${\frac {d\xi }{dx}}+{\frac {d\eta }{dy}}+{\frac {d\zeta }{dz}}=0.$

Or

${\frac {d\xi }{dx}}={\frac {d\mathrm {A} }{dx}}\,\cos \omega -\mathrm {A} \,\sin \omega \,{\frac {d\omega }{dr}}{\frac {dr}{dx}}={\frac {d\mathrm {A} }{dx}}\,\cos \omega -p\mathrm {A} \,\sin \omega \,{\frac {x}{r}}\cdot$

Le premier terme ne contient pas $p$ et est négligeable. Donc :

${\begin{aligned}{\frac {d\xi }{dx}}&=-{\frac {p}{r}}\mathrm {A} x\sin \omega ,\\[1.5ex]{\frac {d\eta }{dy}}&=-{\frac {p}{r}}\mathrm {B} y\sin \omega ,\\[1.5ex]{\frac {d\zeta }{dz}}&=-{\frac {p}{r}}\mathrm {C} z\sin \omega .\\\end{aligned}}$

La condition de transversalité s’écrira :

$\mathrm {A} x+\mathrm {B} y+\mathrm {C} z=0.$

D’ailleurs

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}.$

Si trois fonctions réelles$\mathrm {A,\,B,\,C}$ des coordonnées d’un point de la sphère satisfont à cette relation, il y a forcément sur la sphère deux points au moins pour lesquels simultanément $\mathrm {A} =0,$ $\mathrm {B} =0,$ $\mathrm {C} =0,$ et pour lesquels par conséquent l’intensité lumineuse serait nulle. En effet, entre les deux relations :

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {A} \,dx&+\mathrm {B} \,dy&&+\mathrm {C} \,dz&&=0\\x\,dx&+y\,dy&&+z\,dz&&=0\\\end{alignedat}}$

on peut éliminer $dz$ par exemple et obtenir une équation