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DIFFRACTION DES ONDES CONVERGENTES

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Mais d’après le théorème des fonctions homogènes le facteur entre $\left[\quad \right]$ est nul : car $\mathrm {X} _{n}$ est une fonction homogène de degré $0$ de $(x,\,y,\,z),$ puisque $\theta$ et $\omega$ sont de degré $0$ en $(z\,y\,x)$ et que $\mathrm {X} _{n}$ ne dépend pas de $r.$

Donc :

$\Delta \xi =\sum \mathrm {X} _{n}\Delta \mathrm {F} _{n}+\sum \mathrm {F} _{n}\Delta \mathrm {X} _{n}.$

D’après la définition des fonctions sphériques :

(2)

$0=\Delta \mathrm {P} _{n}=\Delta r^{n}\mathrm {X} _{n}=\mathrm {X} _{n}\Delta r^{n}+r^{n}\Delta \mathrm {X} _{n}.$

Si $\mathrm {F} _{n}$ ne dépend que de $r\,:$

$\Delta \mathrm {F} _{n}={\frac {d^{2}\mathrm {F} _{n}}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}\,{\frac {d\mathrm {F} _{n}}{dr}}\cdot$

Appliquons cette formule à $r^{n}\,:$

$\Delta r^{n}=n(n-1)r^{n-2}+2nr^{n-2}=n(n+1)r^{n-2}.$

Remplaçons $\Delta r^{n}$ par sa valeur dans (2) :

$0=\mathrm {X} _{n}n(n+1)r^{n-2}+r^{n}\Delta \mathrm {X} _{n}$

(3)

${\frac {\Delta \mathrm {X} _{n}}{\mathrm {X} _{n}}}=-{\frac {n(n+1)}{r^{2}}}\cdot$

Tirons de cette équation la valeur de $\Delta \mathrm {X} _{n}$ et portons-la dans $\Delta \xi ,$ il vient :

(4)

$\Delta \xi =\sum \mathrm {X} _{n}\left(\Delta \mathrm {F} _{n}-{\frac {n(n+1)}{r^{2}}}\,\mathrm {F} _{n}\right)\cdot$

L’équation (1) peut alors se mettre sous la forme :

(5)

$\sum \mathrm {X} _{n}\left[{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{n}}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d\mathrm {F} _{n}}{dr}}+\mathrm {F} _{n}\left(\alpha ^{2}-{\frac {n(n+1)}{r^{2}}}\right)\right]=0.$