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THÉORIE DE LA DISPERSION DE HELMHOLTZ

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Alors

${\begin{alignedat}{2}{\frac {d\xi _{1}}{dt}}&=-{\sqrt {-1}}\,p\xi _{1}\qquad &{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=-p^{2}\xi \\[1ex]{\frac {d^{2}\xi _{1}}{dt^{2}}}&=-p^{2}\xi _{1}&{\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}&=-\alpha ^{2}\xi \\[1ex]\end{alignedat}}$

Substituons dans les équations (6)

${\begin{aligned}-\rho p^{2}\xi &=-\mu \alpha ^{2}\xi +\mathrm {P} _{1}(\xi _{1}-\xi )\\[0.5ex]-\rho _{1}p^{2}\xi _{1}&=\mathrm {P} _{1}(\xi -\xi _{1})-\mathrm {H} _{1}\xi _{1}+\mathrm {R} _{1}{\sqrt {-1}}\,p\xi _{1}\\\end{aligned}}$

ou :

${\begin{aligned}(-\rho p^{2}+\mu \alpha ^{2}+\mathrm {P} _{1})\,\xi &=\mathrm {P} _{1}\xi _{1}\\[0.5ex](-\rho _{1}p^{2}+\mathrm {P} _{1}+\mathrm {H} _{1}-{\sqrt {-1}}\,p\mathrm {R} _{1})\,\xi _{1}&=\mathrm {P} _{1}\xi .\\\end{aligned}}$

Posons pour abréger

$\rho _{1}p^{2}-\mathrm {P} _{1}-\mathrm {H} _{1}+{\sqrt {-1}}\,p\mathrm {R} _{1}=h.$

La seconde équation devient

$-h\xi _{1}=\mathrm {P} _{1}\xi .$

Multiplions les deux équations en croix, $\xi$ et $\xi _{1}$ s’éliminent il reste :

(7)

$\rho p^{2}-\mu \alpha ^{2}-\mathrm {P} _{1}={\frac {\mathrm {P} _{1}^{2}}{h}}$

$\alpha$ sera en général une quantité complexe. Posons

${\begin{aligned}\alpha &=\alpha '+{\sqrt {-1}}\,k\\\xi &=\mathrm {A} e^{-kz+{\sqrt {-1}}\,\alpha 'z-{\sqrt {-1}}\,pt}\\\end{aligned}}$

et la partie réelle de $\xi$ est :

$\xi =\mathrm {A} e^{-kz}\cos(\alpha 'z-pt).$