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CAS PARTICULIER DES ONDES PLANES
ce théorème on a en effet :
![{\displaystyle \xi =f(t)=\int _{0}^{\infty }\left[\varphi _{1}(z)\cos zt+\varphi _{2}(z)\sin zt\right]\,dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/470fdce273a334eb8a29d5ac526678c2d592c810)
Nous poserons donc :
etc.,
ce qui revient à considérer séparément une de ces lumières
homogènes.
22. Les équations différentielles auxquelles doit satisfaire
sont linéaires, à coefficients constants et réels.
D’après les propriétés bien connues de ces équations, en
changeant 
en 
dans la solution
nous obtiendrons encore une solution :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi &=\mathrm {A} _{1}\cos \left(pt-{\frac {\pi }{2}}\right)+\mathrm {A} _{2}\sin \left(pt-{\frac {\pi }{2}}\right)\\[1.5ex]&=\mathrm {A} _{1}\sin pt-\mathrm {A} _{2}\cos pt\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f602392863d7c7cd9e7896028c6eac78f2489a13)
De ces deux solutions nous en déduirons une autre, en
ajoutant à la première la seconde multipliée par 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi &=\mathrm {A} _{1}\left(\cos pt+{\sqrt {-1}}\sin pt\right)-{\sqrt {-1}}\mathrm {A} _{2}\left(\cos pt+{\sqrt {-1}}\sin pt\right)\\[1.5ex]&=\left(\mathrm {A} _{1}-{\sqrt {-1}}\mathrm {A} _{2}\right)e^{{\sqrt {-1}}pt}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c933b5b79517c5dd461559ac0fa003553ed4efbf)
23. Inversement, si nous trouvons une solution imaginaire
de cette forme, nous en conclurons que la partie réelle et la
partie imaginaire satisfont séparément aux équations.
Il nous sera donc permis de conduire le calcul en nous
