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(10)

» La somme des formules (7) donne

$0=\left(\varepsilon '-\varepsilon ''\right)\left(\mathrm {D} _{3}-\mathrm {D} _{1}\right)-\left(\varepsilon ''-\varepsilon \right)\left(\mathrm {D} _{2}-\mathrm {D} _{3}\right).$

» Comme cette relation a lieu quels que soient les rapports mutuels des deux différences arbitraires $\mathrm {D} _{3}-\mathrm {D} _{1},$ $\mathrm {D} _{2}-\mathrm {D} _{3},$ il en résulte

$\varepsilon '-\varepsilon ''=0,\quad \varepsilon ''-\varepsilon =0\ ;$

et les trois formules (7) reviennent à poser l’égalité continue

(8)

${\frac {\mathrm {P} _{2}-\mathrm {P} _{3}}{2\left(\mathrm {D} _{2}-\mathrm {D} _{3}\right)}}={\frac {\mathrm {P} _{3}-\mathrm {P} _{1}}{2\left(\mathrm {D} _{3}-\mathrm {D} _{1}\right)}}={\frac {\mathrm {P} _{1}-\mathrm {P} _{2}}{2\left(\mathrm {D} _{1}-\mathrm {D} _{2}\right)}}=\varepsilon .$

» 10. Si l’on appelle $a,$ $a',$ $a''$ les cosinus directeurs de $\mathrm {D} _{1},$ $b,$ $b',$ $b''$ ceux de $\mathrm {D} _{2},$ $c,$ $c',$ $c''$ ceux de $\mathrm {D} _{3},$ les formules connues, pour exprimer soit les six déformations $\mathrm {D} ,$ $\mathrm {G} ,$ soit les six pressions $\mathrm {N} ,$ $\mathrm {T} ,$ relatives aux axes des $x,$ $y,$ $z,$ en fonction des déformations ou pressions analogues, relatives aux directions principales correspondantes et réduites à $\mathrm {D} _{1},$ $\mathrm {D} _{2},$ $\mathrm {D} _{3},$ ou à $\mathrm {P} _{1},$ $\mathrm {P} _{2},$ $\mathrm {P} _{3},$ donnent, d’une part, comme on sait,

(9)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {D} _{x}+\mathrm {D} _{y}+\mathrm {D} _{z}=\mathrm {D} _{1}+\mathrm {D} _{2}+\mathrm {D} _{3},\\{\frac {1}{3}}\left(\mathrm {N} _{x}+\mathrm {N} _{y}+\mathrm {N} _{z}\right)={\frac {1}{3}}\left(\mathrm {P} _{1}+\mathrm {P} _{2}+\mathrm {P} _{3}\right)=-p,\end{aligned}}\right.$

d’une part, avec presque autant de facilité,

(10)

$\left\{{\begin{alignedat}{8}\mathrm {D} _{y}-\mathrm {D} _{z}&=\left(c'^{2}-c''^{2}\right)&\left(\mathrm {D} _{3}-\mathrm {D} _{1}\right)&-\left(b'^{2}-b''^{2}\right)&\left(\mathrm {D} _{1}-\mathrm {D} _{2}\right)&,\mathrm {D} _{z}-\mathrm {D} _{x}&=\ldots ,\\\mathrm {N} _{y}-\mathrm {N} _{z}&=\left(c'^{2}-c''^{2}\right)&\left(\mathrm {P} _{3}-\mathrm {P} _{1}\right)&-\left(b'^{2}-b''^{2}\right)&\left(\mathrm {P} _{1}-\mathrm {P} _{2}\right)&,\mathrm {N} _{z}-\mathrm {N} _{x}&=\ldots ,\\{\frac {1}{2}}\mathrm {G} _{x}&=c'c''&\left(\mathrm {D} _{3}-\mathrm {D} _{1}\right)&-b'b''&\left(\mathrm {D} _{1}-\mathrm {D} _{2}\right)&,{\frac {1}{2}}\mathrm {G} _{y}&=\ldots ,\\\mathrm {T} _{x}&=c'c''&\left(\mathrm {P} _{3}-\mathrm {P} _{1}\right)&-b'b''&\left(\mathrm {P} _{1}-\mathrm {P} _{2}\right)&,\mathrm {T} _{y}&=\ldots ,\end{alignedat}}\right.$

» Il en résulte immédiatement, vu l’égalité des rapports (8),

(11)

${\frac {\mathrm {N} _{y}-\mathrm {N} _{z}}{2\left(\mathrm {D} _{y}-\mathrm {D} _{z}\right)}}={\frac {\mathrm {N} _{z}-\mathrm {N} _{x}}{2\left(\mathrm {D} _{z}-\mathrm {D} _{x}\right)}}={\frac {\mathrm {N} _{x}-\mathrm {N} _{y}}{2\left(\mathrm {D} _{x}-\mathrm {D} _{y}\right)}}={\frac {\mathrm {T} _{x}}{\mathrm {G} _{x}}}={\frac {\mathrm {T} _{y}}{\mathrm {G} _{y}}}={\frac {\mathrm {T} _{z}}{\mathrm {G} _{z}}}=\varepsilon .$

» 11. La valeur commune $\varepsilon$ des six premiers rapports (11), étant en particulier celle du sixième d’entre eux, se confond avec le coefficient $\mathrm {K}$ de la formule (6), et elle se trouve dès lors complètement indépendante de la manière dont sont orientées les trois vitesses principales de dilatation $\mathrm {D} _{1},$ $\mathrm {D} _{2},$ $\mathrm {D} _{3}$ dans le mouvement moyen local. Mais on voit, par les formules (8) et (10), appliquées (avec d’autres valeurs des cosinus $a,$ $a',$ $\ldots ,$ $c''$)