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ces variables dans une autre et réciproquement, on peut supposer

${\begin{alignedat}{2}x^{(1)}&=a^{(1)}x^{n-i+1}&+b^{(1)}x^{n-i+2}&+\ldots +h^{(1)}x^{(n)},\\x^{(2)}&=a^{(2)}x^{n-i+1}&+b^{(2)}x^{n-i+2}&+\ldots +h^{(2)}x^{(n)},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\x^{(n-i)}&=a^{(n-i)}x^{n-i+1}&+b^{(n-i)}x^{n-i+2}&+\ldots +h^{(n-i)}x^{(n)},\end{alignedat}}$

$a^{(1)},b^{(1)},h^{(1)}\,;\ a^{(2)},b^{(2)},\ldots$ étant des arbitraires dont le nombre est $i(n-i).$ Il est clair que ces valeurs satisfont au système proposé d’^s équations différentielles ; de plus, elles réduisent ces équations à $i$ équations différentielles entre les $i$ variables $x^{n-i+1},x^{n-i+2},\ldots x^{(n)}.$ Leurs intégrales introduiront $i^{2}$ nouvelles arbitraires, qui, réunies aux $i(n-i)$ précédentes, formeront les in arbitraires que doit donner l’intégration des équations différentielles proposées.

Si l’on applique ce théorème aux équations (O), on voit que $z=ax+by,\ a$ et $b$ étant deux arbitraires. Cette équation est celle d’un plan passant par l’origine des coordonnées : ainsi l’orbite de $m$ est tout entière dans un même plan.

Les équations (O) donnent

(O)

$\left\{{\begin{aligned}0&=d\left(r^{3}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\right)+\mu dx,\\\\0&=d\left(r^{3}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\right)+\mu dy,\\\\0&=d\left(r^{3}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\right)+\mu dz.\end{aligned}}\right.$

Or, en différentiant deux fois de suite l’équation $rdr=xdx+ydy+zdz,$ on a

$rd^{3}r+3drd^{2}r=xd^{2}x+yd^{2}y+zd^{2}z++3\left(dxd^{2}x+dyd^{2}y+dzd^{2}z\right),$

et par conséquent

$d\left(r^{3}{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}\right)=$

$r^{2}\left(x{\frac {d^{3}x}{dt^{2}}}+y{\frac {d^{3}y}{dt^{2}}}+z{\frac {d^{3}z}{dt^{2}}}\right)+3r^{2}\left(dx{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+dy{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+dz{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\right).$

En substituant dans le second membre de cette équation, au lieu de