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ce qui donne

$\mathrm {V} _{1}=\mathrm {V} -(t-\theta ){\frac {d\mathrm {V} }{dt}}+{\frac {1}{2}}(t-\theta )^{2}{\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dt^{2}}}-$ etc.,

et que l’on représente par $\operatorname {F} t$ la somme des valeurs de ${\frac {d\mathrm {V} }{dx}}$ qui répondent à $x=b$ et $x=-b,$ on en conclura

$\Pi t=\int _{0}^{t}\left(\left({\frac {dV_{1}}{dx}}\right)+\left[{\frac {dV_{1}}{dx}}\right]\right)f'(t-\theta )dt=\nabla \operatorname {F} t.$

La formule précédente se changera donc en celle-ci :

$\psi t=-\nabla \operatorname {F} t+a\nabla ^{2}\operatorname {F} t-a^{2}\nabla ^{3}\operatorname {F} t+a^{3}\nabla ^{4}\operatorname {F} t-$etc.,

dont on ne devra toutefois faire usage que quand elle formera une série convergente.

(30) Nous pouvons ordonner ses termes suivant les différentielles croissantes de $\operatorname {F} t.$ En effet, nous avons d’abord

$\nabla \operatorname {F} t=q\operatorname {F} t-q_{1}{\frac {d\operatorname {F} t}{dt}}+q_{2}{\frac {d^{2}\operatorname {F} t}{dt^{2}}}-q_{3}{\frac {d^{3}\operatorname {F} t}{dt^{3}}}+q_{4}{\frac {d^{4}\operatorname {F} t}{dt^{4}}}-$ etc. ;

en mettant $\nabla \operatorname {F} t$ à la place de $\operatorname {F} t,ilvient$

${\begin{aligned}\nabla ^{2}\operatorname {F} t=q^{2}\operatorname {F} t-2q_{1}q{\frac {d\operatorname {F} t}{dt}}&+\left(2q_{2}q+q_{1}^{2}\right){\frac {d^{2}\operatorname {F} t}{dt^{2}}}-\left(2q_{3}q+2q_{2}q_{1}\right){\frac {d^{3}\operatorname {F} t}{dt^{3}}}\\&+\left(2q_{4}q+2q_{3}q_{1}+q_{2}^{2}\right){\frac {d^{4}\operatorname {F} t}{dt^{4}}}-{\text{etc}}.\,;\end{aligned}}$

par la même substitution on obtient

${\begin{aligned}\nabla ^{3}\operatorname {F} t=q^{3}\operatorname {F} t-3q_{1}q^{2}{\frac {d\operatorname {F} t}{dt}}+\left(3q_{2}q^{2}+q_{1}^{2}q\right){\frac {d^{2}\operatorname {F} t}{dt^{2}}}-\left(3q_{3}q^{2}+6q_{2}q_{1}q+q_{1}^{3}\right){\frac {d^{3}\operatorname {F} t}{dt^{3}}}&\\+\left(3q_{4}q^{2}+6q_{3}q_{1}q+3q_{2}^{2}q\right){\frac {d^{4}\operatorname {F} t}{dt^{4}}}-{\text{etc}}.\,;&\end{aligned}}$